Dalam seni bina, terdapat pengiraan matematik untuk membina bangunan, salah satunya adalah sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear berguna untuk menentukan koordinat titik persimpangan. Koordinat yang betul sangat penting untuk menghasilkan bangunan yang sesuai dengan lakaran. Dalam artikel ini, kita akan membincangkan sistem persamaan linear tiga pemboleh ubah (SPLTV).
Sistem persamaan linear tiga pemboleh ubah terdiri daripada beberapa persamaan linear dengan tiga pemboleh ubah. Bentuk umum persamaan linear tiga pemboleh ubah adalah seperti berikut.
ax + by + cz = d
a, b, c, dan d adalah nombor nyata, tetapi a, b, dan c tidak semuanya boleh 0. Persamaan mempunyai banyak penyelesaian. Satu penyelesaian dapat diperoleh dengan menyamakan sebarang nilai dengan dua pemboleh ubah untuk menentukan nilai pemboleh ubah ketiga.
Nilai (x, y, z) adalah sekumpulan penyelesaian untuk sistem pembolehubah tiga persamaan linear jika nilai (x, y, z) memenuhi ketiga persamaan dalam SPLTV. Set penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan dua cara, iaitu kaedah penggantian dan kaedah penghapusan.
Kaedah Penggantian
Kaedah penggantian adalah kaedah menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggantikan nilai satu pemboleh ubah dari satu persamaan ke persamaan yang lain. Kaedah ini dijalankan sehingga semua nilai pemboleh ubah diperoleh dalam sistem persamaan linear tiga pemboleh ubah.
(Baca juga: Sistem Persamaan Linear Dua Pembolehubah)
Kaedah penggantian lebih mudah digunakan pada SPLTV yang mengandungi persamaan dengan pekali 0 atau 1. Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan kaedah penggantian.
- Cari persamaan yang mempunyai bentuk ringkas. Persamaan ringkas mempunyai pekali 1 atau 0.
- Ungkapkan satu pemboleh ubah dalam bentuk dua pemboleh ubah yang lain. Contohnya, pemboleh ubah x dinyatakan dalam bentuk pemboleh ubah y atau z.
- Ganti nilai pemboleh ubah yang diperoleh pada langkah kedua menjadi persamaan lain dalam SPLTV, sehingga sistem persamaan linear dua pemboleh ubah (SPLDV) diperoleh.
- Tentukan penyelesaian SPLDV yang diperoleh pada langkah ketiga.
- Tentukan nilai semua pemboleh ubah yang tidak diketahui.
Mari kita buat contoh masalah berikut. Cari set penyelesaian untuk sistem pemboleh ubah persamaan linear tiga-pemboleh ubah berikut.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
Pertama, kita boleh menukar persamaan (1) menjadi, z = -x - y - 6 menjadi persamaan (4). Kemudian, kita boleh menggantikan persamaan (4) menjadi persamaan (2) seperti berikut.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Selepas itu, kita boleh menggantikan persamaan (4) dengan persamaan (3) seperti berikut.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Kami mendapat nilai untuk x = -5 dan y = -3. Kita boleh memasukkannya ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z seperti berikut.
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3 - 6
z = 2
Jadi, kami mempunyai satu set penyelesaian (x, y, z) = (-5, -3, 2)
Kaedah Penghapusan
Kaedah penghapusan adalah kaedah menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menghilangkan salah satu pemboleh ubah dalam dua persamaan. Kaedah ini dijalankan sehingga hanya tinggal satu pemboleh ubah.
Kaedah penghapusan dapat digunakan dalam semua sistem persamaan linear tiga pemboleh ubah. Tetapi kaedah ini memerlukan langkah panjang kerana setiap langkah hanya dapat menghilangkan satu pemboleh ubah. Minimum 3 kaedah penghapusan diperlukan untuk menentukan set penyelesaian SPLTV. Kaedah ini lebih mudah apabila digabungkan dengan kaedah penggantian.
Langkah penyelesaian menggunakan kaedah penghapusan adalah seperti berikut.
- Perhatikan tiga persamaan di SPLTV. Sekiranya dua persamaan mempunyai pekali yang sama pada pemboleh ubah yang sama, tolak atau tambahkan dua persamaan tersebut sehingga pemboleh ubah tersebut mempunyai pekali 0.
- Sekiranya tiada pemboleh ubah yang mempunyai pekali yang sama, kalikan kedua persamaan dengan nombor yang menjadikan pekali pemboleh ubah dalam kedua persamaan itu sama. Kurangkan atau tambah dua persamaan sehingga pemboleh ubah mempunyai pekali 0.
- Ulangi langkah 2 untuk pasangan persamaan yang lain. Pemboleh ubah yang dihilangkan dalam langkah ini mestilah sama dengan pemboleh ubah yang dihilangkan pada langkah 2.
- Setelah memperoleh dua persamaan baru pada langkah sebelumnya, tentukan set penyelesaian untuk dua persamaan tersebut dengan menggunakan kaedah penyelesaian sistem persamaan linear dua-pemboleh ubah (SPLDV).
- Ganti nilai dua pemboleh ubah yang diperoleh pada langkah 4 dalam salah satu persamaan SPLTV sehingga nilai pemboleh ubah ketiga diperoleh.
Kami akan cuba menggunakan kaedah penghapusan dalam masalah berikut. Tentukan set penyelesaian SPLTV!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2y + z = 20… (2)
X + 4y + 2z = 15… (3)
SPLTV dapat ditentukan dengan menghilangkan pemboleh ubah z. Pertama, tambah persamaan (1) dan (2) untuk mendapatkan:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ... (4)
Kemudian, darabkan 2 dalam persamaan (2) dan darabkan 1 dalam persamaan (1) untuk mendapatkan:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -
5x = 25
x = 5
Setelah mengetahui nilai x, gantikan dengan persamaan (4) seperti berikut.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Gantikan nilai x dan y dalam persamaan (2) seperti berikut.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -
Sehingga set penyelesaian SPLTV (x, y, z) adalah (5, 3, -1).
