Matematik mendapat stigma yang menakutkan bagi pelajar, walaupun semakin kerap anda meneroka dan mempraktikkan matematik, semakin seronok dan menyeronokkan. Jadi , sekarang kami akan menjemput anda untuk mengetahui lebih lanjut mengenai aruhan matematik. Apa itu aruhan matematik dan untuk apa ia digunakan?
Aruhan matematik itu sendiri dapat ditafsirkan sebagai teknik bukti dalam matematik. Ia digunakan untuk membuktikan pernyataan khas yang mengandungi nombor semula jadi. Bukti menggunakan kaedah ini menghasilkan kesimpulan umum.
Pengenalan Induksi Matematik
Dalam membuktikan menggunakan aruhan matematik, kesimpulan umum diperoleh. Terdapat dua jenis penaakulan yang digunakan untuk mendapatkan kesimpulan, iaitu penaakulan deduktif dan penaakulan induktif.
- Penalaran deduktif adalah penaakulan yang bermula dari pernyataan umum hingga pernyataan khusus. Pendekatan ini disebut pendekatan "khusus-umum" kerana penaakulan bermula dengan perkara umum dan kemudian diakhiri dengan perkara-perkara tertentu. Contoh; semua epal adalah buah, semua buah tumbuh di atas pokok, jadi semua epal tumbuh di atas pokok.
- Penaakulan induktif adalah penaakulan yang bermula dari pernyataan khusus hingga pernyataan umum. Pendekatan ini disebut pendekatan "umum-spesifik" kerana pernyataan terdiri dari titik-titik tertentu untuk sampai pada kesimpulan yang diterima umum. Contoh; Seorang penumpang bas memerhatikan bahawa setiap kali pemandu bas menginjak pedal brek, semua penumpang bas akan didorong ke depan.
(Baca juga: Transformasi dalam Matematik, Seperti Apa?)
Di samping itu, kaedah induksi matematik dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran hipotesis khas sehingga dapat diterima secara umum. Jadi kaedah ini digunakan sebagai bukti dalam penaakulan induktif.
Aplikasi Induksi Matematik
Aplikasi induksi matematik boleh didapati di pelbagai cabang matematik. Hipotesis yang disusun dalam matematik perlu dibuktikan agar dapat diterima umum. Hipotesis umumnya sah sekiranya terbukti benar untuk semua nilai berangka yang digunakan. Berikut adalah contoh pernyataan yang dapat dibuktikan dengan cara ini.
Buktikan bahawa jumlah siri nombor ganjil adalah n2. Di mana n adalah nombor semula jadi.
Penyelesaian: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 berlaku untuk setiap n € A
Langkah asas: untuk n = 1, kita mendapat bahawa P1 = 1 = 12 betul.
Langkah induksi: andaikan untuk n = k, P k adalah benar. Ia akan ditunjukkan bahawa untuk n = k + 1, P (k + 1) = (k + 1) 2 adalah benar.
Perhatikan langkah-langkah berikut:
Untuk n = k, maka P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2 adalah benar.
Dengan menambahkan [2 (k + 1) -1] ke dua sisi, kemudian
P (k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]
= k2 + 2k + 2 -
= k2 + 2k +
= (k + 1) 2 (terbukti)
Prinsip Induksi Matematik
Biarkan P (n) menjadi pernyataan yang mengandungi nombor semula jadi. Ungkapan P (n) dapat dibuktikan benar untuk semua nombor semula jadi n, dengan mengikuti langkah-langkah induksi matematik.
Berikut adalah langkah-langkah bukti menggunakan kaedah ini:
- Buktikan bahawa P (1) adalah benar atau P (n) adalah benar untuk n = 1.
- Sekiranya P (k) benar maka tunjukkan P (k + 1) adalah benar untuk setiap bilangan bulat positif k.
Sekiranya langkah (1) dan (2) betul, dapat disimpulkan bahawa P (n) adalah benar untuk setiap nombor semula jadi n. Langkah 1 disebut langkah asas, sementara langkah 2 disebut langkah induksi.
